Нахождение обратной матрицы - процесс, который состоит из достаточно простых действий. Но эти действия повторяются так часто, что процесс получается довольно продолжительным. Главное - не потерять внимание при решении.
При решении наиболее распространённым методом - алгебраических дополнений - потребуется:
При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.
Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a , не равного нулю, существует такое число b , что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b . Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.
Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица
произведение на которую матрицы А
справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:
- методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения и транспонировать матрицы;
- методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).
Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.
Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.
Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.
Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса - приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим
,
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.
2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.
2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.
Пример 2. Для матрицы
найти обратную матрицу.
и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.
Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим
.
Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим
.
Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим
.
Разделим третью строку на 8, тогда
.
Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:
.
Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:
.
Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:
.
Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:
В результате должна получиться обратная матрица.
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы .
Пример 3. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать.
Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.
Навигация по странице.
Обратная матрица - определение.
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.
Определение.
Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n .
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Как же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).
Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .
Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.
Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров: и .
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .
Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, .
Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .
Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы :
На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .
Матрица действительно является обратной для матрицы А
, так как выполняются равенства . Покажем это
Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .
Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.
Пример.
Дана матрица . Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим определитель матрицы А
, разложив его по элементам третьего столбца:
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
Теперь находим обратную матрицу как :
Проверяем полученный результат:
Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.
Свойства обратной матрицы.
Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы :
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.
Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.
Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е , то получится обратная матрица .
Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n , определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.
Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.
Если , то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1 ), в которой , а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А , у которой .
Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрице А , у которой . Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А , начиная со второго, станут нулевыми.
С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.
Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми.
Если , то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2 ), в которой , а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А , у которой . Умножаем все элементы второй строки на . После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А , начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.
Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.
Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому .
Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.
Пример.
Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.
Решение.
Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу .
Умножим все элементы первой строки матрицы на : .
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4)
:
Переходим ко второму столбцу.
Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Переходим к третьему столбцу.
Умножим элементы третьей строки на : .
Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.
К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2)
, а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :
В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.
К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
.
Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.
Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.
Пример.
Найдите обратную матрицу для методом Гаусса – Жордана.
Решение.
В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А , а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.
Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами:
Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице:
К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0
, к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2
, к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5
:
Так в первом столбце матрицы А
мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:
Дальше нам нужно сделать элементы и нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0
, а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:
Умножаем элементы третьей строки на :
Третий столбец матрицы А принял нужный вид (элемент нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на ). Осталось умножить четвертую строку на чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:
Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А
. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на , к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на , к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0
:
Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0
соответственно:
Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на :
Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.
Ответ:
.
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .
Этот метод основан на решении n
систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n
дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу .
Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений
и с помощью элементарных преобразований
.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :
Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы .
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров .
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор
?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента
, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ
у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ .
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение либо
Проверка:
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы .
Здесь определитель раскрыт по первой строке
.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .
2) Находим матрицу миноров .
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента
. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ
строго у следующих элементов:
В данном случае:
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Определение 1
Метод обратной матрицы - это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Пример 1
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи : А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B .
Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В.
Замечание
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Пример 2Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Как решить?
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X:
- Находим определитель матрицы А:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:
А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,
А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 ,
А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,
А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 ,
А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,
А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 ,
А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,
А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 ,
А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:
А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Ответ : x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
www.сайт позволяет найти обратную матрицу онлайн . Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн . За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица , умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу , при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.сайт выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн . Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы . Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы , затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции - умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу . Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.сайт находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы . Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц . Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы , для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные , необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн . При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн .
Ноутбуки